一元三次方程的因式分解是将方程转化为一次或二次因式乘积的经过，常用于求解方程的根。下面内容是体系化的技巧拓展资料及步骤说明，结合了常见技巧和适用条件：

一、常用分解技巧

1. 独特因式法（无常数项）

若方程无常数项（即 (d=0)），可提取公因式 (x)，降为二次方程：

示例： (x^3

3x^2 + 2x = 0)

分解： (x(x^2

3x + 2) = x(x-1)(x-2))

根： (x=0, 1, 2) 。

2. 试根法（有理根定理）

若存在有理数根，则其必为常数项 (d) 的因数与首项系数 (a) 的因数之比（即 (pm fracd

ext的因数}}a

ext的因数}})）。

步骤：

步骤① 列出 (d) 和 (a) 的所有因数组合，如 (d=6) 时可能根为 (pm1, pm2, pm3, pm6)。

步骤② 代入验证，找到使方程为零的根 (k)，则 ((x-k)) 一个因式。

步骤③ 用多项式除法（或综合除法）得到二次因式。

示例： (x^3

6x^2 + 11x – 6 = 0)

试根： (x=1) 满足，分解为 ((x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3)) 。

3. 分组分解法

通过分组提取公因式，适用于部分系数存在关联的方程。

步骤：

步骤① 分成两组：如 ((x^3 + 3x^2) + (-6x

18))。

步骤② 分别提公因式： (x^2(x+3) -6(x+3))。

步骤③ 合并公因式： ((x+3)(x^2-6)) 。

示例： (x^3 + 3x^2

6x – 18 = 0 rightarrow (x+3)(x^2-6)=0)。

4. 双十字相乘法

类比二次三项式，将三次项系数 (a) 和常数项 (d) 分解为两组数，交叉验证系数。

示例： (2x^3

5x^2 – 4x + 3 = 0)

分解思路： ((2x^2 + mx + n)(x + p))，通过系数匹配确定 (m, n, p) 。

二、独特情况的处理

1. 重根的存在

若存在重根（如两个根相等），可通过判别式 (B^2

4AC = 0) 判断（其中 (A=a, B=b, C=c)）。

示例： (x^3

3x^2 + 3x – 1 = 0 rightarrow (x-1)^3 = 0)。

2. 公式法（卡尔丹或盛金公式）

当试根困难时，可直接用求根公式，再反向因式分解：

卡尔丹公式：通过代换 (x = y

fracb}3a}) 消去二次项，化为 (y^3 + py + q = 0)，再求解 。

盛金公式：直接根据系数计算判别式，分类讨论实根数量 。

三、一般步骤流程图

mermaid

graph LR

A[一元三次方程] –> B常数项 d=0}

B –>|是| C[提取 x，降为二次方程]

B –>|否| D[试根法找有理根 k]

D –> E[验证 f k =0]

E –> F[分解出 x-k]

F –> G[多项式除法得二次式]

G –> H[因式分解二次式]

H –> I[得最终因式]

D –>|无有理根| J[公式法求根]

J –> K[根据根反向分解]

四、完整示例

难题：分解 (x^3

4x^2

7x + 10 = 0)

1. 试根：常数项因数 (pm1, pm2, pm5, pm10)，代入得 (x=1) 满足。

2. 分解： ((x-1)) 是因式，多项式除法得商 (x^2

3x

10)。

3. 二次式分解： (x^2

3x

10 = (x+2)(x-5))。

4. 结局： ((x-1)(x+2)(x-5)=0)，根为 (1, -2, 5) 。

注意事项

适用范围：试根法和分组法适用于整数系数或有理根的情况；无有理根时需用公式法，可能涉及复数 。

验证：分解后需展开核对是否与原方程一致。

工具辅助：复杂计算可用综合除法（短除法）降低步骤复杂度 。

通过灵活组合上述技巧，可高效完成多数一元三次方程的因式分解。实际应用中建议优先尝试试根法，再逐步过渡到其他技巧。